已知矩阵
，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（ ），使PTAP为对角矩阵。
- A.见图A
- B.见图B
- C.见图C
- D.见图D
正确答案及解析
正确答案
D
解析
因为A－E为降秩矩阵，所以行列式|A－E|＝0，即
解得a＝1或4。
设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，因A的特征值之和等于A的迹，则有λ1＋λ2＋λ3＝3a－3，可见当a＝1时，λ1＋λ2＋λ3最小，所以
。
所以矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1。
已知矩阵，且A－E为降秩矩阵。当A的特征值之和最小时，求出正交矩阵P为（ ），使PTAP为对角矩阵。
因为A－E为降秩矩阵，所以行列式|A－E|＝0，即
解得a＝1或4。
设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3，因A的特征值之和等于A的迹，则有λ1＋λ2＋λ3＝3a－3，可见当a＝1时，λ1＋λ2＋λ3最小，所以。
所以矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1。
