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下列是两位教师在“复数概念”中引入的教学片段。

【教师甲】为了解决 x2-2=0 在有理数集中无解，以及单位正方形对角线的度量等问题，在初中，已经把有理数集扩充到了实数集。x2+1=0 在实数集中有解吗?类比初中的做法，我们如何做呢?看来又需要扩充数集。数学家引入了 i，使 i 是方程式 x2+1=0 的一个根，即使得 i2=-1。把这个新数 i 加到实数集中去，就会得到一个新数集，记作 A，那么方程 x2+1=0 在 A 中就有解 x=i 了。

【教师乙】 16 世纪，意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数，使其和为 l0，积为 40”时，认为这两个数是“5

中学数学学科知识与教学能力,历年真题,2017年下半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）真题

这样我们就引入了一个新数。这节课我们学习了复数的表达式 a+bi(a，b∈R)，当然，复数还有其他表达法，后续的学习中我们会学习到。问题： (1)请分析这两位老师教学引入片段的特点；(12 分) (2)复数还有三角表达法，请简述三角表达法的意义。(8 分)

正确答案及解析

正确答案

解析

(1)甲教师引入的设计思路是温故知新，带着学生回忆初中时在已知数系中遇到解决不了的问题时，处理方法是引入新数来扩充数集。类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题时，也应该想到引入新数的方法来扩充数集，并解决问题，进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方法，对学生解决问题的能力有一定的提高，但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。教师乙采用数学史导入新课。这种导入既丰富了教材中的素材又丰富了教学内容，同时激发了学生的兴趣，调动了学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考。能使学生认识数学、理解数学，最终学好数学，体会到数学源于生活并应用于生活。有利于激活学生的思维，使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 (2)复数的三角表示法为 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)。这样表示的意义如下：①复数的三角表示法是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的。②复数的三角表示形式可以解决三角函数相关的问题。