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若函数?(x)在[0，1]上连续，在(0，1)可导。

(1)若?(1)= ?(0)+3，证明：存在ξ∈(0，1)，使得?′(ξ)=3。(5 分)

(2)若?(1)=0，求证方程 x?′(x)+?(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根。(5 分)

正确答案及解析

正确答案

解析

(1)设 F(x)=?(x)-3x，所以 F(0)=?(0)，F(1)= ?(1)-3，又因为?(1)=?(0)+3，所以 F(0)=F(1)。又函数?(x)在[0，1] 上连续，在(0，1)可导，所以 F(x)=?(x)-3x 在[0，1]上连续，在(0，1)可导，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0， 1)，使得 F(ξ)=?′(ξ)-3=0，即存在ξ∈(0，1)，使得?′(ξ)=3。 (2)证明：设 G(x)=x?(x)，有?(1)=0，所以 G(0)=0·?(0)=0，G(1)=1·?(1)=0，所以 G(0)=G(1)，又有函数?(x)在[0， 1]上连续，在(0，1)可导，所以 G(x)=妒 0)在[0，1]上连续，在(0，I)可导，所以根据罗尔定理，存在'7∈(0，1)，使得 G′(η)=η?′(η)+?(η)=0，所以方程 x?(x)+?(x)=0 在(0，1)至少有一个实根。