在一个圆柱形电容器中，置有两层同轴的圆柱体，其内导体的半径为2cm，外导体的内半径为8cm，内外两绝缘层的厚度分别为2cm和4cm，内外导体间的电压为150V（以外导体为电位参考点）。设有一根薄的金属圆柱片放在两层绝缘体之间，为了使两层绝缘体内的最大场强相等，金属圆柱片的电位应为（ ）。
- A.100V
- B.250V
- C.667V
- D.360V
正确答案及解析
正确答案
解析
方法一：设内层介质介电常数为ε1，外层介质介电常数为ε2，圆柱体的单位长度电荷量为τ。由高斯公式可得，内外层绝缘体的电场强度分别为：E1＝τ/（2πε1r），E2＝τ/（2πε2r）。内层介质最大场强出现在r1＝2cm处，外层介质最大场强出现在r2＝4cm处，要使两层介质最大场强相等，则有：τ/（2πε1r）＝τ/（2πε2r）。
由此可知：τ/（2πε1）＝τ/（2πε2），ε1＝2ε2。假设无穷远处点位为0，则内外导体之间的电压为：
U＝τ/（2πε1）ln（4/2）＋τ/（2πε2）ln（8/4）＝150V，所以金属圆柱的电位：U1＝τ/（2πε2）ln（8/4）＝100V。
方法二：如题解图所示，设金属圆柱片的电位为φ（电位参考点取在外导体上），则有：φ＝τ2/（2πε2）ln（c/b）。
由于内导体与金属圆柱片间的电压为：U0＝τ2/（2πε2）ln（c/b），由题知内外导体间的电压为150V，则有U0＝150－φ，即：150－φ＝τ1/（2πε1）ln（b/a）。联立式以上方程可得：τ1＝（2πε1）（150－φ）/ln（b/a），τ2＝（2πε2φ）/ln（c/b）。
由于E1＝τ1/（2πε1r），E2＝τ2/（2πε2r），所示最大电场强度出现在r＝a时，有：E1max＝τ1/（2πε1a）；当r＝b时，有：E2max＝τ2/（2πε2b）。欲使E1max＝E2max，则：τ1/（2πε1a）＝τ2/（2πε2b）。
由以上计算结果可得：（150－φ）/[aln（b/a）]＝φ/[bln（c/b）]，所以：（150－φ）/（2ln2）＝φ/（4ln2），可得金属圆柱片的电位为：φ＝100V。
