设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3。
（Ⅰ）证明：α1，α2，α3线性无关；
（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP。
正确答案及解析
正确答案
解析
（Ⅰ）设存在数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。由已知条件知Aα1＝－α1，Aα2＝α2。用矩阵A分别乘式①的左右两边，得－k1α1＋k2α2＋k3（α2＋α3）＝0②。式①－②得2k1α1－k3α2＝0。
由于α1，α2为A的分别属于－1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，即k1＝k3＝0，代入①得k2α2＝0。因为α2是A的特征向量，α2≠0，得k2＝0，即k1＝k2＝k3＝0，所以α1，α2，α3线性无关。
（Ⅱ）由题意有
因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P可逆，得
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