快速排序是一种典型的分治算法。采用快速排序对数组A[p..r]排序的三个步骤如下: 分解：选择一个枢轴（pivot）元素划分数组。将数组A[p..r]划分为两个子数组（可能为空） A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[q]大于等于A[p..q-1]中的每个元素，小于A[q+1..r]中的每个元素。q的值在划分过程中计算。 递归求解：通过递归的调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]分别排序。 合并：快速排序在原地排序，故不需合并操作。 【问题1】 下面是快速排序的伪代码，请填补其中的空缺。伪代码中的主要变量说明如下： A：待排序数组 p, r：数组元素下标，从p到r q：划分的位置 x：枢轴元素 i：整型变量，用于描述数组下标。下标小于或等于i的元素的值小于或等于枢轴元素的值 j：循环控制变量，表示数组元素下标 QUICKSORT( A, p, r ){if ( p 大于 r ){q = PARTITION( A,p,r ) ;QUICKSORT( A, p, q-1 );QUICKSORT( A, q+1, r );}}PARTITION( A, p, r ){x= A[r]; i = p - 1;for( j = p ; j 大于= r - 1; j++ ){if ( A[j] 大于= x ){i = i + 1 ;交换A[i] 和 A[j];}}交换 （1） 和 （2） //注：空（1）和空（2）答案可互换，但两空全部答对方可得分return （3） } 【问题2】（1） 假设要排序包含n个元素的数组，请给出在各种不同的划分情况下，快速排序的时间复杂度，用O记号。最佳情况为 （4）平均情况为 （5）最坏情况为 （6） （2） 假设要排序的n个元素都具有相同值时，快速排序的运行时间复杂度属于哪种情况? （7）（最佳、平均、最坏） 【问题3】（1） 待排序数组是否能被较均匀地划分对快速排序的性能有重要影响，因此枢轴元素的选取非常重要。有人提出从待排序的数组元素中随机地取出一个元素作为枢轴元素，下面是随机化快速排序划分的伪代码-利用原有的快速排序的划分操作，请填充其中的空缺处。其中，RANDOM( i,j )表示随机取i到j之间的一个数，包括i和j。 RANDOMIZED-PARTITION( A,p,r ){i = RANDOM( p,r );交换（8）和（9）; //注：空（8）和空（9）答案可互换，但两空全部答对方可得分return PARTITION( A,p,r );} （2） 随机化快速排序是否能够消除最坏情况的发生? （10）（是或否）
正确答案及解析
正确答案
解析
【问题1】（1）A[i+1] 或 A[r] （2）A[r] 或 A[i+1] （3）i+1 【问题2】（4）O(nlgn) 或 O(nlog2n) （5）O(nlgn) 或 O(nlog2n) （6）O(n2 ) （7）最坏 【问题3】（8）A[i] （9）A[r] （10）否
该题主要考查考生对分治算法的快速排序的理解，对伪代码、快速排序的复杂度的掌握，做题的关键是要读懂题干，理解题干中对算法的描述。 问题1考查的是算法的伪代码表示。分治法的设计思想是将一个难以直接解决的问题，分解成一些规模较小的相同问题，各个击破。其快速排序算法的核心处理是进行划分，根据枢轴元素的值，把一个较大的数组分成两个较小的子数组。一个子数据组的所有元素的值小于等于枢轴元素的值，一个子数组的所有元素的值大于枢轴元素的值，而子数组内的元素不排序。以最后一个元素为枢轴元素进行划分，从左到右依次访问数组的每一个元素，与枢轴元素比较大小，并进行元素的交换。在问题1给出的伪代码中，当循环结束后，A[p..i]中的值小于等于枢轴元素值x，而A[i+1..r-1]中的值应大于x。此时A[i+1]是第一个比A[r]大的元素，于是A[r]与A[i+1]交换，得到划分后的两个子数组。由于划分操作（即PARTITION操作）返回枢轴元素的值，因此返回值为i+1。 问题2考查的是算法的时间复杂度分析。当每次都能做均匀划分时，是算法的最佳情况，其时间复杂度为T( N )=2T( n/2 )+O( N )，即时间复杂度为O( nlgn )；算法的最坏情况是每次为极不均匀划分，即长度为n的数组划分后一个子数组为n-1，一个为0，其时间复杂度为T( N )=T( n-1 )+O( N )，即时间复杂度为O( n2 )；算法的平均情况分析起来比较复杂，假设数组每次划分为9/10:1/10，此时时间复杂度可以通过计算得到为O(nlgn)；也就是说在平均情况下快速排序仍然有较好的性能。问题2中假设要排序的n个元素都具有相同值时，快速排序的运行时间复杂度，属于最坏情况，因为每次都划分为长度为n-1和0的两个子数组。 问题3中，由于随机化的快速排序的划分调用了PARTITION操作，而传统划分每次以数组的最后一个元素作为枢轴元素。随机化的快速排序消除了输入数据的不同排列对算法性能的影响，降低了极端不均匀划分的概率，但不能保证不会导致最坏情况的发生。
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